Apasih ARIMA itu??

ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) terdiri atas dua metode yang digabung menjadi satu yaitu AR(Autoregressive) dan MA(Moving Average). kalau anda ketemu dengan ARIMA biasanya dibelakangnya terdapat keterangan mengenai model yang digunakan misal ARIMA(2,1,2) atau ARIMA(1,0,1) dan sebagainya. Angka pertama menunjukkan derajat (wah bingung mau pake istilah apa, dibukunya studenmund ditulis term, di Thesis anak MAKSI UNDIP dia pake kata orde koefisien) AR angka kedua derajat integrasi, angka ketiga derajat MA. biasanya modelnya ditulis ARIMA (p,d,q) ya p,d,q berturut-turut seperti keterangan sebelumnya.

Ketika kita punya data time series pertama kali dicek stasionaritasnya, kalau datanya non-stasioner bisa didiferensiasi sampe stasioner, jadi bukan cuma didiferensiasi satu kali atau dua kali. “lha kalau sudah stasioner gimana?”, nek udah stasioner ya udah to tinggal diolah, gitu aja kok repot. he he he. terus ngecek stasionernya gimana? anda bisa pake Box-Ljung test atau Dickey-Fuller test(sekarang saya belum belajar ini, nanti kalau udah mudheng saya tulis disini, insya ALLAH). Lha misalnya kita melakukan diferensiasi dua kali angka “2″ mengganti huruf “d” pada model ARIMA kita. misalnya : ARIMA (p,2,q), ARIMA (p,1,q) dsb. “p sama q nya gimana???”, sek to sabar, ini kan baru nyari orde koefisien integrasi. kalau anda pakar matematika atau kalau pelajaran matematika gak tidur atau baca buku cerita kayak saya, pasti tau cara melakukan diferensiasi. yang lupa atau pura-pura lupa padahal gak tau ya gak papa. diferensiasi(diferensiasi ini sama dengan turunan kan?) itu selisih nilai pada saat t dengan nilai sebelumnya (t-1). lha diferensiasi kedua gimana ya sama tapi selisih nilai saat t*(t setelah diferensiasi pertama) dengan t-1* (t-1 setelah diferensiasi pertama). sederhananya gini :

Yt*=Y(t)-Y(t-1)

Maaf saya kasih tanda dalam kurung biar jelas bahwa itu adalah t dan t-1

untuk diferensiasi kedua :

Yt** = Y(t)*- Y(t-1)*

Untuk menentukan nilai p dan q kita pake ACF(Autocorrelation Function) dan PACF (Partial AutoCorrelation Function). dari sini nanti kita bisa nggambar correlogram dan dari situ akan kelihatan pada tingkat kepercayaan 95% misalnya sampe data keberapa yang signifikan. Cara ngitung ACF dan PACF nya besok ya belum paham soalnya. nilai ACF akan dipake untuk ngisi bagian q, sementara nilai PACF akan dipake untuk ngisi p. bisa saja data kita signifikan di beberapa titik jadi model yang kita dapat bisa beragam dan dari beberapa model tersebut kita harus cari yang paling bagus untuk dipake melakukan prediksi.

kalau hasilnya nanti misalnya ARIMA (1,0,0) artinya dia cuma AutoRegressive(AR), AR(1). kalau ARIMA (0,0,1) artinya dia cuma Moving Average(MA),MA(1). kalau misalnya ARIMA (1,0,1) berarti dia ARMA(1,1). 

Contoh SOAL ke 2

Data :

36.14	44.29	44.6	50.09	44.15	48.42	35.72	41.39
36.19	46.11	44.63	53.44	46.95	53	36.9	42.52
39.66	44.61	49.72	55.18	44.49	52.24	36.54	41.66
41.44	47.84	49.07	54.27	48.98	52.31	39.59	42.03

1.      Memeriksa stasioner dalam varians dengan boxcox

Gambar 1. Box-Cox

Berdasarkan Gambar 1 diketahui bahwa data sudah stasioner terhadap varians karena confidence interval sudah melewati 1 (-3.19 sampai 2.38).

2.   Memeriksa stasioner dalam mean.

Gambar 2. ACF

Berdasarkan Gambar 2 diketahui bahwa data sudah stasioner terhadap mean karena gambar menunjukkan bahwa lag yang terbentuk cepat menuju nol. Jadi tidak perlu didifference sehingga model yang didapat IMA (0, 1).

3.   Estimasi Model

Gambar 3. PACF

Berdasarkan Gambar 3 menunjukkan bahwa lag 1 cut off sehingga modelnya adalah AR (1).

Jadi ARIMA yang bisa digunakan untuk meramal adalah ARIMA (1, 0, 1).

1.      Uji Asumsi

a.                   Uji L-jung Box

Hipotesis.

H0 : White Noise

H1 : Tidak White Noise

Tingkat Signifikan.

α = 5% = 0,05.

Lag	12	24	36	48
Chi-Square	16.2	24.6	*	*
DF	9	21	*	*
P-Value	0.063	0.625	*	*

Berdasarkan Tabel 1 diketahui bahwa P-Value lebih dari α sehingga gagal tolak H0 yang berarti bahwa residual data sudah white noise.

b.                  Semua Parameter Signifikan

Hipotesis.

H0 : Tidak Signifikan

H1 : Signifikan

Tingkat Signifikan.

α = 5% = 0,05.

Type	Coef	SE Coef	T	P
AR 1	0.7493	0.1639	4.57	0
MA 1	-0.0234	0.2413	-0.1	0.923
Constant	11.0735	0.736	15.05	0
Mean	44.173	2.936

Berdasarkan Tabel 2  diketahui P-Value untuk MA 1  lebih dari α sehingga gagal tolak H0 yang berarti bahwa parameter tidak signifikan. Oleh karena itu model ARIMA (1, 0, 1) tidak dapat digunakan untuk meramal , sehingga tidak perlu diteruskan lagi.

1.                  Jika dilihat dari gambar 2 dapat diketahui kemungkinan model yang bisa digunakan adalah model ARIMA (1, 0, 0)

Uji Asumsi

a.                   Uji L-jung Box

Hipotesis.

H0 : White Noise

H1 : Tidak White Noise

Tingkat Signifikan.

α = 5% = 0,05.

Lag	12	24	36	48
Chi-Square	16.2	24.7	*	*
DF	10	22	*	*
P-Value	0.094	0.309	*	*

Berdasarkan Tabel 3 diketahui bahwa P-Value lebih dari α sehingga gagal tolak H0 yang berarti bahwa residual data sudah white noise.

b.                  Semua Parameter Signifikan

Hipotesis.

H0 : Tidak Signifikan

H1 : Signifikan

Tingkat Signifikan.

α = 5% = 0,05.

Type	Coef	SE Coef	T	P
AR 1	0.7605	0.1212	6.28	0.000
Constant	10,5677	0.7075	14.94	0.000
Mean	44.131	2.955

Berdasarkan Tabel 4  diketahui P-Value kurang dari α sehinggatolak H0 yang berarti bahwa parameter signifikan. 

c.                   Uji Residual Berdistribusi Normal

Hipotesis .

H0 : Berdistribusi normal

H1 : Tidak berdistribusi normal

Tingkat Signifikan.

α = 5% = 0,05.

Gambar 4. Normality Plot           

Berdasarkan Gambar 4 didapatkan P-value sebesar 0.065 yang berarti bahwa gagal tolak H0 pada tingkat signifikan 5%. Sehingga kesimpulan yang di dapat adalah residual data berdistribusi normal.

Karena model ARIMA (1, 0, 0) sudah memenuhi semua asumsi maka model ARIMA sudah dapat digunakan untuk meramal.

Dan model yang didapat adalah Z_t = 10,5677 + 0,7605 Z_t-1

Dan hasil ramalannya 8 satuan waktu ke depan adalah sebagai berikut.

42.53322
42.91593
43.207
43.42838
43.59674
43.72478
43.82217
43.89623

Contoh SOAL

   Latar Belakang

Daratan mencakup sekitar 30 persen dari seluruh permukaan bumi sedangkan sisanya adalah lautan. Namun, 100 persen dari permukaan bumi merupakan atmosfer. Hal ini menyebabkan manusia tidak dapat bertahan tanpa atmosfer dimana pada atmosfer inilah terkandung oksigen yang digunakan untuk bernafas. Keadaan atmosfer didefinisikan sebagai cuaca dan iklim. Cuaca merupakan keadaan atmosfer pada suatu saat, sedangkan iklim merupakan rata-rata dari cuaca dalam periode yang panjang. Banyak kegagalan kegiatan manusia disebabkan oleh unsur cuaca dan iklim yang salah satunya adalah kecepatan angin. 

Angin adalah udara yang bergerak dan sejajar dengan permukaan bumi. Menurut Soenarmo (2003), manifestasi utama dari sirkulasi angin adalah medan tekanan. Angin terjadi disebabkan oleh adanya perbedaan tekanan horisontal. Besarnya kecepatan angin ditunjukkan oleh kecuraman beda tekanan. Jika beda tekanan besar maka angin menjadi kencang, sedangkan jika beda tekanan lemah maka angin juga menjadi lemah (Tjasjono, 1995). Angin memberikan pengaruh yang cukup penting dalam kehidupan manusia. Hal ini ditunjukkan oleh pemanfaatan angin dalam kehidupan sehari-hari seperti dalam pelayaran, pembangkit lisrik, penerbangan, dan lain sebagainya. Terkadang angin sendiri memberikan dampak-dampak negatif. Kecepatan angin yang melebihi batas maksimum kondisi aman (melebihi 40 km/jam) dapat mengakibatkan bencana, misalnya rusaknya bangunan akibat badai, tanaman rusak, nelayan tidak dapat melaut akibat gelombang laut meninggi dan lain-lain.

Besarnya kecepatan angin di daerah Sumenep menjadi hal yang sangat dipertimbangkan mengingat Sumenep merupakan daerah pesisir dimana terdapat pelabuhan yang digunakan untuk aktivitas pelayaran antarpulau dan nelayan melakukan aktivitasnya. Pada tahun 2008 tercatat jumlah kasus kecelakaan laut yang terjadi di Indonesia sebanyak 138 dimana 38% diantaranya akibat kondisi alam, 37% akibat human error, 23% kesalahan teknis, dan 2% akibat lainnya. Kondisi angin belakangan ini semakin tidak menentu dan pada saat-saat tertentu kecepatan angin sangat ekstrim. Aktivitas pelayaran di Pelabuhan Kalianget pun terkadang tertunda akibat tingginya gelombang dan angin kencang. Keadaan ini mendorong penelitian-penelitian mengenai kecepatan angin semakin dikembangkan, salah satunya dalam hal peramalan kecepatan angin. Peramalan kecepatan angin untuk beberapa periode ke depan penting dilakukan untuk membantu pihak terkait membuat perencanaan dan kebijakan. Untuk daerah Sumenep peramalan kecepatan angin diperlukan antara lain untuk aktivitas pelayaran.

Beberapa penelitian mengenai pemodelan kecepatan angin di Sumenep telah dilakukan dengan berbagai metode. Nuryana (2001) meramalkan kecepatan angin di Sumenep menggunakan metode ARIMA. 

  Perumusan Masalah

Kecepatan angin memberikan informasi yang penting dalam kehidupan sehari-hari terutama bagi kelangsungan aktivitas pelayaran di Sumenep sehingga perlu mendapatkan ramalan kecepatan angin beberapa periode ke depan. Metode peramalan pun semakin dikembangkan untuk mencari nilai ramalan dengan  error sekecil-kecilnya. Salah satu metode tersebut adalah metode ARIMA. Bagaimanakah hasil peramalan kecepatan angin untuk periode tanggal 1, 2 dan 3 Mei 2009? 

  Batasan Masalah

Peramalan hanya dilakukan untuk meramalkan kecepatan angin 1 minggu berikutnya karena peramalan yang umum dilakukan oleh pihak BMKG adalah kecepatan angin 1 minggu ke depan. 

   Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk meramalkan kecepatan angin di Sumenep dengan metode ARIMA.


ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Untuk menganalisis dan meramalkan data kecepatan angin dalam satuan knot di daerah Sumenep periode bulan Mei 2009 dilakukan dengan menggunakan metode ARIMA. Langkah-langkah yang dilakukan untuk mendapatkan ramalan tersebut adalah sebagai berikut.

1.             Melakukan identifikasi stasioneritas data terhadap mean dan varian.

Membuat plot time series dan ACF-PACF untuk melihat stasioneritas data dalam mean dan varian. Jika tidak stasioner terhadap mean dilakukan differencing, sedangkan jika tidak stasioner terhadap varian dilakukan transformasi Box-Cox. Dari deret yang telah stasioner, dibuat plot PACF.

Gambar 4.1 Plot Time Series data kecepatan angin pada Bulan April

Dari Gambar 4.1 di atas dapat dilihat bahwa data belum stasioner. Untuk dapat melakukan peramalan dengan metode ARIMA pada data kecepatan angin di Sumenep untuk periode bulan April 2009 maka data yang digunakan harus stasioner. Maka langkah selanjutnya adalah menganalisis data kecepatan angin di Sumenep stasioner dalam varians maupun mean. Pengujian stationer dalam varian dengan menggunakan transformasi box cox dan didapatkan hasil sebagai berikut.

Gambar 4.2 Box Cox data kecepatan angin pada Bulan April

Dari Gambar 4.2 di atas menunjukkan bahwa data kecepatan angin di Sumenep untuk periode bulan April 2009 sudah stasioner dalam varians dibuktikan dari nilai rounded value sama dengan 1 atau dengan kata lain  λ bernilai 1. Setelah didapat bahwa data kecepatan angin di Sumenep untuk periode bulan April 2009 sudah stasioner dalam varians, maka langkah selanjutnya adalah melakukan pengujian stasioner dalam mean dengan cara difference dan didapatkan hasil sebagai berikut.

Gambar 4.3 Plot Time Series data kecepatan angin pada Bulan April

Pada Gambar 4.3 di atas, merupakan time series plot setelah dilakukan deferensial lag 1 pada data kecepatan angin di Sumenep untuk periode bulan April 2009. Dapat dilihat secara visual, data sudah stasioner dalam mean.

Sehingga dapat dilanjutkan ke pengujian selanjutnya yaitu menduga order pada ARIMA. Dengan langkah-langkah sebagai berikut.

Gambar 4.4 PACF data kecepatan angin pada Bulan April

Dari Gambar 4.4 di atas, dapat diketahui bahwa terdapat 1 lag yang cut off  sehingga dari grafik PACF tersebut bisa menduga order dari AR yaitu 1. Selanjutnya dilakukan pengujian Autocorrelation Function seperti berikut ini.

Dari Gambar 4.5 di atas, dapat diketahui bahwa grafik ACF lag pada data kecepatan angin di Sumenep untuk periode bulan April 2009 dies down atau turun secara lambat sehingga dari grafik ACF tersebut bisa menduga order dari MA yaitu 1. Jadi dari grafik ACF dan PACF dapat disimpulkan bahwa model (1,1,1)

        1.             Melakukan pengujian signifikansi parameter

Untuk mengetahui apakah pada data kecepatan angin di Sumenep untuk periode bulan April 2009 sudah signifikan atau tidak, maka dilakukan pengujian seperti berikut.

Hipotesis :

Ho :

H₁  : minimal ada satu

Tingkat Signifikan :

α = 0.05

Daerah Kritis :

Tolak Ho jika P-Value < α

Statistik Uji :

Final Estimates of Parameters          Type         Coef  SE Coef     T      P          AR   1     0.5386   0.2469  2.18  0.038          MA   1     0.9298   0.2149  4.33  0.000          Constant  0.04542  0.03244  1.40  0.173

Tabel 4.1 Estimasi Model

Keputusan :

      Dari Tabel 4.1 di atas menunjukkan bahwa pada AR 1 mempunyai nilai P-Value 0.038 dan MA 1 mempunyai nilai P-Value 0.000. AR 1 dan MA 1 mempunyai nilai P-Value kurang dari 0,05 maka tolak H₀. Jadi parameter signifikan sehingga bisa dimasukkan pada model. Dan pada constan nilai P-Value 0.173 yang berarti lebih dari 0,05 maka gagal tolak Ho maka parameter tidak signifikan sehingga tidak dimasukkan pada model.Melakukan pengujian model dengan menguji residual dari model.

Pemodelan time series merupakan prosedur iterasi. Setelah mendapat nilai dugaan parameter, tahap selanjutnya adalah menguji apakah asumsi model dipenuhi. Suatu model time series harus memenuhi asumsi white noise, dan residual berdistribusi normal.

Maka dilakukan pengujian seperti berikut.

Tingkat Signifikan :

α = 0.05

Daerah Kritis :

Tolak Ho jika P-Value < α

Statistik Uji :

Tabel 4.2 Estimasi Model

           Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic

                              Lag            12     24  36  48

                              Chi-Square    7.4   17.3   *   *

                              DF              9     21   *   *

                              P-Value     0.598  0.691   *   *

Keputusan :

Dari Tabel 4.2 di atas menunjukkan bahwa nilai P-Value adalah 0,598 dan 0,691 lebih dari 0,05 maka gagal tolak H₀ berarti data kecepatan angin di Sumenep untuk periode bulan April 2009  telah memenuhi asumsi white noise.

Setelah dilakukan pengujian asumsi white noise dilanjutkan dengan melakukan pengujian asumsi distribusi normal, langkah pengujiannya adalah sebagai berikut.

Pada hasil perhitungan manual didapatkan hasil bahwa data peramalan kecepatan angin di Sumenep pada tanggal 1, 2 dan 3 Mei 2009 adalah 7.5697 8.2517 dan 8.6190 dalam satuan knot. Data peramalan tersebut sama dengan hasil  output Minitab seperti berikut ini

Differencing: 1 regular difference Number of observations:  Original series 30,   after differencing 29      Residuals:    SS =  45.6379 (backforecasts excluded)                            MS =  1.7553  DF = 26      Forecasts from period 30                                               95% Limits                   Period  Forecast    Lower    Upper  Actual                             31     5.18004  2.58276  7.77733                          32     5.32244  2.28168  8.36320                          33     5.44456  2.23282  8.65631

Tabel 4.4  Output Minitab Peramalan Bulan Mei 2009

Pada hasil output minitab telah didapatkan hasil bahwa data peramalan kecepatan angin di Sumenep pada tanggal 1, 2 dan 3 Mei adalah 7.7773 8.3632 dan 8.6563 dalam satuan knot..

KESIMPULAN 

            Dari pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa dengan perhitungan manual maupun dengan output Minitab menghasilkan hasil yang hampir sama yaitu peramalan data kecepatan angin di Sumenep untuk tanggal 1, 2 dan 3 Mei 2009 adalah 7.5697 8.2517 dan 8.6190 dalam satuan knot. Hal tersebut menunjukkan bahwa kecepatan angin di daerah Sumenep setiap hari semakin meningkat.

LAMPIRAN

Data Kecepatan Angin Pada Bulan April 2009
4	2	4	6	3	3
2	1	3	6	3	5
1	1	3	5	1	7
2	2	4	4	4	7
2	5	5	3	5	5